拿张A4纸，对，就是打印机里抽出来那种。横着放，竖着放，转个角度再看。四条边，四个角，角是直角，规规矩矩九十度。这东西就是矩形。日常叫它长方形，一个意思。

平面几何里头，矩形属于平行四边形。平行四边形多了去了，菱形也是，正方形也是。矩形特殊在哪？角。四个内角全都得是直角。一个四边形，对边平行且相等，内角全是九十度，这条件卡下来，就是矩形。

矩形定义：一个平面四边形，四个内角均为直角（90度）。 满足这个，自动就是对边平行且相等。反过来讲，一个平行四边形，只要有一个角是直角，剩下三个角必然全是直角。平行线同旁内角互补嘛，一百八减九十，还是九十。

换个说法。拿两根长棍，两根短棍，长棍跟长棍对着，短棍跟短棍对着。接头地方用直角卡子固定。搭出来就是矩形框。长棍叫长边，短棍叫宽边。习惯上，横着的方向叫长，竖着的方向叫宽。转九十度，长宽称呼互换，东西没变。

几何书上画矩形，通常底下那条边水平，叫底边。左边那条边竖直，叫高。四个顶点，左下角开始逆时针转，标上A、B、C、D。AB边对着CD边，BC边对着DA边。AB等于CD，BC等于DA。角A、角B、角C、角D全是九十度。

性质一：对边平行且长度相等。 AB∥CD，BC∥DA。长度上，AB=CD，BC=DA。这条性质从矩形是平行四边形那儿继承来的。平行四边形有的性质，矩形全有。对角线互相平分，中心对称。

性质二：四个角全是直角。 每个角九十度，四个角加起来三百六十度。直角带来的好处多。计算面积直接长乘宽。斜着放的东西，拆成水平竖直两个方向量，乘起来就是占地大小。盖房子量地面，裁玻璃算尺寸，全用这条。

性质三：对角线长度相等。 矩形ABCD，连AC，连BD。AC这条对角线和BD那条对角线，长度一模一样。普通平行四边形对角线不相等，菱形对角线垂直但不相等。矩形对角线既互相平分，长度还一样。两条对角线交点O是中心点。AO等于OC，BO等于OD。又因为AC等于BD，所以AO、OC、BO、OD四条线段全相等。O点到四个顶点距离一样远。

矩形对角线相等这条性质，干活时候常用。木工检查柜子门框是不是矩形，量两条对角线。对角线等长，角就是直角。不等长，门框歪了，得调。

性质四：矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。 轴对称，有两条对称轴。一条横着穿过对边中点，一条竖着穿过对边中点。沿着对称轴对折，两边严丝合缝。中心对称，绕对角线交点O转一百八十度，图形跟自己重合。正方形有四条对称轴，矩形一般只有两条。正方形是特殊的矩形，四条边全等。

面积计算：长乘以宽。 长用字母a表示，宽用字母b表示，面积S等于a乘b。单位是平方单位。平米、平方厘米、平方英尺，看用的啥尺子。周长计算：长加宽，乘二。C等于二乘（a加b）。长方形菜地，长二十米，宽十五米，面积三百平米，周长七十米。篱笆桩子数得按周长来。

对角线长度怎么算。勾股定理。矩形切一半，直角三角形。长a，宽b，对角线c的平方等于a方加b方。c等于根号下（a方加b方）。长三米，宽四米，对角线五米。勾三股四弦五。

矩形在坐标系里表示简单。四个顶点坐标，（0,0），（a,0），（a,b），（0,b）。边跟坐标轴平行。斜着放也简单，用向量表示。

矩形跟正方形的关系。正方形是矩形子集。正方形四边等长，四个角直角。矩形只要求角是直角，边长可以不等。所有正方形都是矩形，矩形不一定是正方形。这层关系理清，很多题不会错。

矩形跟菱形的关系。菱形四边等长，角不一定直角。矩形角直角，边不一定等长。两者交集是正方形。既四边等长，又四个直角。

日常见到的矩形物件数不过来。手机屏幕、书本页面、门窗框、地砖、银行卡、电视遥控器。设计成矩形原因简单：省料，好摆，好算。圆形的料裁成方形浪费边角，六边形铺地缝隙难对齐。矩形横平竖直，拼在一起严丝合缝。

建筑图纸、机械制图，矩形是基准形状。标注尺寸，长宽高，定位基准面。三维空间里，矩形拉伸成方体。六个面全是矩形，叫长方体。长宽高三个尺寸定下来，体积长乘宽乘高。

印刷排版，文字段落框是矩形。图片框是矩形。屏幕上一个个窗口是矩形。像素点阵排列也是矩形网格。矩形的直角特性让对齐操作变得直接。左对齐、右对齐、居中对齐，参照系就是矩形边界。

矩形稳定性。受力方面，矩形框架不加斜撑容易变形，变成平行四边形。门框对角线加根斜拉筋，就稳了。三角形结构稳定，矩形加对角线变成两个三角形，立刻稳固。自行车车架三角结构多，矩形框架得额外加固。

矩形对称性应用。折纸，矩形纸对折再对折，折痕是对称轴。剪纸艺术，对折剪出对称图案。包装盒展开图，一片片矩形折叠粘合成方盒。计算用料面积，拆成若干矩形求和。

黄金矩形：长宽比为1.618比1的矩形。 这个比例的矩形视觉上舒服。古希腊帕特农神庙立面，蒙娜丽莎画框，苹果手机早期屏幕比例，接近黄金矩形。黄金矩形切掉一个正方形，剩下小矩形还是黄金矩形。对数螺线跟黄金矩形有关。

矩形切割问题。一块大矩形铁皮，切出若干小矩形零件，怎么排料省材料。二维排样，运筹学问题。工厂钣金下料天天面对。算法优化，利用率从百分之七十提到九十，省下来的是纯利润。

屏幕分辨率。1920乘1080，宽高比16比9。矩形像素阵列。4比3的老显示器，16比10的笔记本屏幕，21比9的带鱼屏。长宽比不同，显示内容区域形状不同。看文档用竖屏舒服，看电影用宽屏震撼。背后全是矩形比例的事。

坐标系中的矩形。四个点（x1,y1），（x2,y1），（x2,y2），（x1,y2）。判断一个点是否在矩形内，x坐标在x1和x2之间，y坐标在y1和y2之间。两个条件同时满足，点就在矩形里头。计算机图形学，碰撞检测，按钮点击判定，都这么干。

矩形的内切圆。一般矩形没有内切圆，四个边都相切的圆不存在。正方形有内切圆。矩形的外接圆。四个顶点共圆，圆心是对角线交点。矩形总能画个外接圆。直径就是对角线长度。

矩形作图。尺规作图，画直线，作垂线，截取长度，连起来。CAD软件里